Примеры совместных событий - Сложение и умножение вероятностей, примеры решений и теория. Онлайн учебник по теории вероятностей

Событие А называется частным случаем события В , если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В , записываем. События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

События, виды событий

Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство. Произведением событий А и В называется событие АВ , которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

Случайные события А и B называются совместными , если при данном испытании могут произойти оба эти события. Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле.

События событий А и В называются независимыми , если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:. Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности см.

В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой — черный.

А — вынули белый шар из первого ящика, ;. Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или. По теореме об умножении вероятностей ,. Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго — 0,9. Стрелки делают по выстрелу.

Тогда - промах первого, ;.

Учебник по теории вероятностей

Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найти вероятности того, что формула содержится 1 только в одном справочнике; 2 только в двух справочниках; 3 во всех трех справочниках. Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них в частности, только одно или ни одного , причем вероятности появления каждого из событий известны.

Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий.

Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий. Если события имеют одинаковую вероятность , то формула принимает простой вид:. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Найти вероятность хотя бы одного попадания событие А при одном залпе из всех орудий.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события попадание первого орудия , попадание второго орудия и попадание третьего орудия независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям , и т. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина событие А.

События "машина работает" и "машина не работает" в данный момент — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна. Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз? Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз".

События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. Приняв во внимание, что, по условию, следовательно, , получим. Итак, , то есть стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов. МатБюро работает на рынке решения математических задач уже 11 лет. Грамотное и подробное решение за разумную стоимость. Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей. МатБюро Теория вероятностей Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей.

Учебник по теории вероятностей 1. А — вынули белый шар из первого ящика, ; - вынули черный шар из первого ящика, ; В — белый шар из второго ящика, ; - черный шар из второго ящика,.

Пусть А — попадание первого стрелка, ; В — попадание второго стрелка,. Тогда - промах первого, ; - промах второго,. А — формула содержится в первом справочнике; В — формула содержится во втором справочнике; С — формула содержится в третьем справочнике. Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1. Определение вероятности.

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна Искомая вероятность Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Приняв во внимание, что, по условию, следовательно, , получим Прологарифмируем это неравенство по основанию Вы можете заказать контрольную работу по теории вероятности Форма экспресс-заказа. Количество Более выполненных заказов Цены Разумные и обоснованные цены Опыт Помогаем студентам в решении задач уже 11 лет Кредо Качество, ответственность и уважение И еще Мы рады выполнить ваш заказ.

Контакты Поиск по сайту Карта сайта Вакансии.